Squircle

Im Magazin der MAA (math.Assoc.America) bin ich auf die Squircles aufmerksam gemacht worden.

Der Name kommt von Squares to Circles.

Es ist ein Zwischending zwischen Quadrat und Kreis. Man kann dafür verschiedene Definitionen vorschlagen. Mir gefällt die einfachst beschreibbare. Eine Kurve, die die Gleichung |x|^p+|y|^p=1 erfüllt.

Ich habe für p die Werte zwei, goldener Schnitt, Euler Konstane e und Pi eingesetzt, um eine schöne Auswahl zu bekommen.

Dabei bin ich darauf gestossen, dass man danach fragen kann, was passiert, wenn man die Fläche dieser Kurve ausrechnet und sie als Parameter p einer weiteren Kurve verwendet.

Let squircle(p) be the curve satisfying the equation |x|^p+|y|^p=1

If F(p) := area of squircle(p)

then p=3.6619679144529437707549.. is a fixpoint of F.

F(p) = ∫[0,1] (1-x^p)^(1/p) dx *4

Ich habe diese Fixpointkonstante 3.66196.. (die man Baumann'sche Konstante nennen könnte) mit Maple bis auf 10'000 Stellen nach dem Komma berechnet (ca. 14 Tage PC 2.66 GHz CPU time).

Dabei ist hilfreich dass die Fläche oben elegant auf die Eulerfunktion B(x,y) zurückführbar ist.