Bauchung

Kachelung (tiling, tesselation) mit ausgebauchtem Quadrat und Kubus

Es gibt natürlich jede Menge von Kachelungen. Ich möchte mich hier aber auf das Quadrat und den Würfel beschränken. Es ist bemerkenswert, dass sowohl beim Quadrat wie beim Würfel nur zwei verschiedenen Arten gibt, Ausbuchtungen auf 50% der Seiten anzubringen. Nämlich „benachbart“ oder „nicht benachbart“. Die nicht ausgbuchteten Seiten sind eingebuchtet.

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Beispiele im 2-Dimensionalen

Bei den "ausgebauchten" Kacheln (2-dim Quadrat oder 3-dim Kubus) sind diejenigen mit "benachbartem" Muster sehr "gutmütig".

Man kann ganz bequem unendlich viele Kachelungen machen. Damit ist ein Zählen von solchen Kachelungn hinfällig.

Nehmen wir die 2-dimensionale Ebene mit ihren beiden Achsen x und y. Ich kann entlang der x-Achse ein beliebiges Muster von aufeinanderfolgenden Aus- und Einbuchtungen vorgeben. Dasselbe kann ich mit der y-Achse machen. Das x-Achsnmuster muss jetzt nur in Richtung y-Achse und das y-Achsenmuster in Richtung x-Achse beibehalten werden. Damit ist für jede Zelle der Ebene die Kachelorientierung festgelegt.

Im 3-dimensionalen Falle kann man in allen 3 Ebenen (x=0, y=0 und z=0) ein beliebiges Bitmuster wie diesen Smiley vorgegeben, das in senkrechter Richtung dazu beibehalten werden muss. In jeder Raumzelle ist es dann möglich, den "benachbart" modifizierten Würfel geeignet auszurichten, ohne dass Lücken entstehen.

Schwarz= ausgebaucht, weiss= invers.

Ich erinnere daran, dass ich nur zwei Muster für 50% Ausbuchtungen am Würfel kenne: die u-förmige Anordnung B und die andere A (3 benachbarte Seiten).

Für das Muster A habe ich schon gemeldet, das man in drei aufeinander senkrecht stehenden Ebenen ein beliebiges Kachelmuster angeben darf. Als repräsentierendes Muster habe ich einen Smiley (Schwarz auf Weiss) gewählt. Ich zeige hier ein animiertes Bild, in dem ich auf den drei opponierenden Seiten den gespiegelten und inversen Smiley anbringen musste.

Und nun zu u-förmigen Muster B. Hier die Einzelkachel

Für diese Kachel kann man folgende Aussagen machen. Auch hier gibt es unendlich viele Kachelungen, aber man hat weniger Freiheitsgrade als beim Muster A. Man kann nur in einer Ebene ein beliebiges Kachelmuster vorgeben. Die anderen dazu senkrechten Ebenen sind automatisch gestreift. Ich zeige im Blickfang (Gif L-Muster=4x4x4streif 64) einen detailierten 4x4x4 Ausschnitt mit einem "L" als vorgegebenes Muster und hier einen deutlich grösseren Ausschnitt mit dem Smiley (Schwarz = ausgebuchtet, Weiss = eingebuchtet).

Bei den Kachelungen mit dem Muster B gibt es noch eine stärker "verwobene" Kachelung: sie zeigt ein Schachbrettmuster in allen drei Ebenen und man kann nichts mehr vorgeben (also nur eine Kachelung dieses Typs).

Die in GreatStella zusammengebaute detailierten Kachelungen geben zuwenig "Einsicht" (trotz der gewählten leichten Spaltung). Ich habe eine alternative Darstellung gesucht. Dazu "sprenge" ich die Kachelung des Raumes mit Würfeln und zeige ein Gitter von isolierten Würfeln. Auf diesen Würfeln kann ich die u-förmig angordneten Ausbuchtungen markieren. Ich habe das für die Schachbrett- und die Streifenvariante auf einem 2x2x2 Ausschnitt gemacht.