Inflation der Kugelpackung

Einmal mehr zeige ich die faszinierende dichteste Kugelpackung. Ich kann zwei aquivalente Gedankenexperimente damit machen.

(a)

Ich stelle mir vor, die Kugeln seien aus Blei. Jetzt setze ich sie einem allseitigen Druck aus. Die Kügelchen deformieren sich, bis die den Raum lückenlos ausfüllen. Wie sehen sie am Schluss aus?

(b)

Ich stelle mir vor, die Kugeln seien Luftballone. Ich blase sie alle gleichzeitig (fragen Sie mich nicht wie) weiter auf ohne dass sie ihren Mittelpunkt verlassen können (Inflation). Wie sehen sie am Schluss aus?

Die Antwort ist: die Kugeln werden zu Rhombododekaedern (zwölf Rauten, die sich zu einem rundlichen Körper schliessen).

Vor der Inflation kann man die Frage stellen: Sind die Zwischenräume (das Komplement der Packung) alle miteinander verbunden und welche Form haben sie? Antwort: Ja, sie sind es! Sie perkolieren also. Zur Form: weiter unten.

Bei der Packung aus Rhombododekaedern im folgenden Bild kann man zwei verschiedene Begegnungsstellen erkennen, a und b. Bei b treffen sich vier Dodekaeder, bei a sechs Dodekaeder. Wenn man sich die Spitzen (die 3-wertigen und die 4-wertigen) des Dodekaeders alle leicht angeschliffen vorstellt, so sieht man, dass die entstehenden Lücken bei b Tetraeder und bei a Würfel sind. Das beantwortet die Frage nach der Form der Lücken bei der Kugelpackung (sphärisch verformt natürlich und nicht getrennt). Es hat halb soviele Würfellücken wie Tetraederlücken. Jedes Dodekaeder bringt 6 viereckig abgeschliffene Ecken und 8 dreieckige. Für einen Würfel braucht es 6 Vierecke (6/6=1) und für das Tetraeder 4 Dreiecke (8/4=2).