Sieben Zigaretten

Eine Denksportaufgabe, die ich seit längerer Zeit kenne, besteht darin 7 Zigaretten so anzuordnen, dass jede Zigarette jede andere berührt. Damals habe ich konkret 7 Zigaretten genommen und sie entsprechend zusammengeklebt. Siehe Bild. Nun (2013) haben Mathematiker in einer anspruchsvollen Arbeit (hier, ein PDF kann runtergeladen werden) zwei Konstellationen von 7 unendlich langen Zylindern gefunden, bei denen jeder Zylinder jeden anderen berührt. Das ist schwieriger, weil bei den Zigaretten (endliche Zylinder) die Stirnseiten benützt werden. In der Arbeit sind die beiden Konstellationen abgebildet und werden die 7 Geraden in Parameterdarstellung angegeben. Für mich war sofort klar: das will ich in Stereo sehen, eventuell auch animiert, und das will ich 3D-geprinted in die Hand nehmen können. "Mehr lesen" anklicken! alle Bilder anklicken (zum Vergrössern)!

Das ist eine lohnende Aufgabe, weil sie nicht ganz einfach zu bewältigen ist und weil die Erfolgskontrolle so einfach ist. Zuerst wollte ich Mathematica verwenden. Da gibt es eine interessante Library TUBECURV.m, die beim Uebergang von Geraden zu Zylindern helfen würde. Ich konnte diese Library auf Internet nicht finden und die fehlende Krümmung bei den Geraden könnte stören, weil ein begleitendes Dreibein nicht unmittelbar gegeben ist. Mein zweiter Ansatz war dann das Programm Surfer. Es verlangt die Zylindereingabe in Form impliziter Gleichungen. Der Uebergang von der Parameterdarstellung der Zylinderseele zur implizitenGleichung für eine Röhre ist nicht trivial. Beispiel: von der Parameterdarstellung "(-3.168475, -2.459641, 0)+h*(0.192767, 0.536724, 0.270508), Radius=1" zur impliziten Darstellung "(0.94114041*(x+3.168475)- 0.33801588*(y+2.459641))^2+( 0.14486197*(x+3.168475)+ 0.40334037*(y+2.459641)- 0.90351068*(z))^2-1=0". Ich hatte etwas Uebung, weil ich seinerzeit mit Surfer die 27 Geraden als Röhren in die Clebsch-Fläche gelegt habe. Hier ist als Resultat die cross-eye stereo Abbildung einer der beiden Konstellationen. Als nächstes nehme ich mir die zweite Konstellation vor und dann versuche ich auch das 3D Printing (wahrscheinlich mit dem Maple Programm ab Excel und der STL File Exportmöglichkeit sowie einem Auftrag bei ShapeWays).

Heute (2014) habe einen YouTube Film von Bozoki gefunden, hier.

Vier Bilder mit (1) Bild aus der Originalarbeit, (2) Facebook Dialog, (3) Beispiel einer Berührung und (4) die zweite, kompaktere Konstellation