Die Wurstvermutung

Die Wurstvermutung – da hören auch Leute auf, die weniger an Geometrie und Mathematik interessiert sind. Ich möchte von Kugelpackungen reden und da gibt es, wenn man den richtigen Dichtebegriff wählt, die erstaunliche Tatsache, dass Kugeln sehr lange lieber in Einerkolonne stehen (eine Wurst bilden) als sich kugelig anzuordnen (Cluster). Der zu wählende Dichtebegriff braucht die Schrumpfpackung, die wir alle kennen. Allerdings mit gut dosiertem Vakuum so, dass keine Eindellungen entstehen. Denken Sie an Tennisbälle, die so eingepackt sind. Die Dichte ist dann das Verhältnis Volumen der Bälle / Volumen in der Packung. Jetzt kann man folgende Aussagen machen.

Wurstkatastrophe im R3 (Gandini und Wills 1992)

Im 3-dimensionalen Raum gibt es zu jeder Stückzahl N >= 56 ausser N=57,58,63 und 64 eine Clusterpackung, die dichter ist als die Wurstpackung. Cluster heisst hier einfach, nicht „wurstig“. Der Wurst ist es wohl bis genau 55 Kugeln. Durch Hinzufügen einer einzigen zusätzlichen Kugel „kollabiert“ sie ganz plötzlich. (Das hat den Charakter eines kritischen Punktes in der Phasentheorie).

 

Wurstkatastrophe im R4 (Gandini und Zucco 1992)

Im 4-dimensionalen Raum gibt es zu jeder Stückzahl N >= 375370 eine Clusterpackung, die dichter ist als die Wurstpackung. Die Zahl 375370 ist erstaunlich gross. Der Wurst ist es also sehr lange wohl. Mit garantierter Konkurrenz muss sie erst ab 375370 Kugeln rechnen.

 

Wurstvermutung (Betke, Henk und Wills 1994-1997)

Im mindest 42-dimensionalen Raum ist die Wurstpackung immer überlegen. Bis 1994 musste der betrachtete Raum 13386-dimensional sein. 1995 gelangte man zum 45-dimensionalen Raum, dann 1997 zum 42-dimensionalen. Nur für die Dimensionen 5 bis 41 ist also die Vermutung noch nicht bewiesen.

 

Web:

Link 1

Link 2

Link 3

 

Ein Buch:

Max Leppmeier, Kugelpackungen von Keppler bis heute, Verlag Vieweg, 1997

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