Pneu's packen

"Geschüttete" Pneu's scheinen sich kreuzweise lagern zu wollen.

 

Wenn ich von Pneu's auf Tori wechsle, entsteht daraus ein interessantes mathematisches Problem. Was sind die höchsten Füllgrade bei den Tori ?

 

Ein Torus hat zwei Parameter, der Radius r des Profils und der Radius R des Ringes.

 

Ich habe mir zunächst den recht rundlichen Fall von R/r=1 vorgenommen und eine Referentstapelung RS wie folgt vorgenommen.

 

Die Tori zu senkrechten Türmen stapeln. Diese Türme bienewabenmässig zusammenstellen. Dann jede zweite Diagonale in diesem Muster um r anheben, was eine platzsparende Verzahnung ermöglicht.

 

Weil man jeden Torus in eine zylindrische Hülle stecken kann, die er mit einem Füllgrad FG1 ausfüllt, kann den Gesammtfüllgrad FG auf drei Faktoren zurückführen : FG1, dann der Füllgrad der Kreise im 2D und schliesslich den Gewinnfaktor durch die Verzahnung.

 

Das ergibt zusammen die bestechend einfache Formel

FG = (1/WURZEL(3)-1/2)*Pi^2

 

Das sind 76%+, die wir mit den 74%+ der dichtesten Kugelpackung vergleichen können.

 

Obwohl bei einer alternativen, kreuzweisen Stapelung ein Torus in die Hülle seines Nachbarn eindringen kann, was ohne Frage ein Gewinn wäre, glaube ich nicht, dass netto ein Gewinn bleibt, weil man eine damit verbundene Spreizung nicht vermeiden kann.

 

Damit vermute ich das RS optimal ist.

 

Man kann kann auch einen geschlossenen Ausdruck des RS-Füllgrades in Funktion des Torusformates R/r etablieren (1).

 

Tadeusz Dorozinski hat schon 2014 eine Füllung des Raumes mit Tori vom Format 3.41+ publiziert, bei der die Tori miteinander verhänkt sind, dh. Es gehen je 4 Tori durch das Loch eines anderen Torus. Das Herausfinden des Füllgrades dieser Anordnung ist eine hübsche Aufgabe. Man kann abzählen, dass 6 Tori in einer kubischen Elementarzelle vorhanden sind (je ein halber Torus für die 6 Seiten und je ein Vierteltorus für die 12 Kanten).

Es ergibt sich die schlichte Formel

FG = 6*Pi^2 * (29*Wurzel(2)-41).

Das sind 72%+.

 

Weil die RS Familie gemäss (1) Füllgrade bis 76%+ hat, kann man fragen, für welches Format der Tori gegebene Füllgrade erreicht werden.

 

Format R/r = 1.41835+ gibt den Füllgrad 74%+ der dichtesten Kugelpackung.

 

Format R/r = 1.60672+ (nahe am goldenen Schnitt 1.618+) gibt den Füllgrad 72%+ der Doro-Packung.

 

Bei der Doro-Packung gehen vier Tori durch jedes Torusloch. Man könnte nur je zwei Tori verlinken und das Format R/r=2 wählen, sodass jedes Torusloch durch einen Torus gefüllt wird. In diesem Falle kann man einen Füllgrad von 60%- erreichen.

 

Wenn man dieses Format R/r=2 in die Referenzstapelung RS nimmt, also das Torusloch nicht stopft, bekommt man einen besseren Füllgrad, nämlich 67%+ (fast genau 2/3) statt 60%-.

 

Füllgrad für Pillen

 

Wenn man bei der dichtesten Kugelpackung die Kugel r halbiert und dazwischen einen Zylinder der Höhe h einfügt erhält man eine Art Pillen mit dem Format f=h/r. Mit f verändert sich der Füllgrad. Bei f=0 haben wir den Füllgrad 74%+, der dann für f gegen unendlich sich dem Wert 90%+ annähert.